Как найти ось симметрии параболы

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая делит параболу на две зеркально симметричные части. Она проходит через вершину параболы и всегда перпендикулярна её направлению (если парабола открывается вверх или вниз, то ось будет вертикальной). Ось симметрии играет важную роль в изучении свойств параболы и её графического представления. Для того чтобы найти ось симметрии параболы, необходимо учитывать её уравнение.

Уравнение параболы

Парабола может быть представлена в нескольких формах, но основная из них — это каноническая форма уравнения параболы:

1. Уравнение параболы, открывающейся вверх или вниз:

$y=a(x-h)2+ky = a(x — h)^2 + k$

где:

$(h,k)(h, k)$ — координаты вершины параболы,
$aa$ — коэффициент, который определяет «ширину» и направление параболы (если $a>0a > 0$ , парабола открывается вверх, если $a<0a < 0$ , то вниз).

2. Уравнение параболы, открывающейся влево или вправо:

$x=a(y-k)2+hx = a(y — k)^2 + h$

где:

$(h,k)(h, k)$ — координаты вершины параболы,
$aa$ — коэффициент, который определяет «ширину» параболы и её направление (если $a>0a > 0$ , парабола открывается вправо, если $a<0a < 0$ , то влево).

Определение оси симметрии

Ось симметрии параболы в общем случае проходит через вершину. В зависимости от формы уравнения параболы, её ось симметрии может быть найдена следующим образом:

Для параболы, открывающейся вверх или вниз

Для параболы, уравнение которой имеет вид $y=a(x-h)2+ky = a(x — h)^2 + k$ , ось симметрии будет вертикальной прямой, проходящей через $x=hx = h$ . Это означает, что ось симметрии будет иметь уравнение:

$x=hx = h$

Таким образом, ось симметрии для параболы, открывающейся вверх или вниз, всегда вертикальна и проходит через $xx$ -координату вершины параболы.

Для параболы, открывающейся влево или вправо

Если парабола открывается влево или вправо, её уравнение будет иметь вид $x=a(y-k)2+hx = a(y — k)^2 + h$ . В этом случае ось симметрии будет горизонтальной прямой, которая проходит через $y=ky = k$ . Уравнение оси симметрии будет:

$y=ky = k$

Это означает, что ось симметрии для параболы, открывающейся влево или вправо, всегда горизонтальна и проходит через $yy$ -координату вершины.

Ось симметрии параболы через уравнение второй степени

Если уравнение параболы не записано в каноническом виде, а, например, в стандартном виде:

$y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c$

то для нахождения оси симметрии можно воспользоваться формулой для абсциссы вершины параболы. В данном случае ось симметрии параболы будет иметь уравнение:

$x=−b2ax = -\frac{b}{2a}$

где:

$aa$ и $bb$ — коэффициенты уравнения параболы $y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c$ .

Эта формула выводится из того, что абсцисса вершины параболы (точки, в которой она достигает минимума или максимума) находится на линии симметрии. Формула $x=−b2ax = -\frac{b}{2a}$ позволяет вычислить координату $xx$ -вершины, которая и является координатой оси симметрии.

Пример 1: Парабола $y=2\times2-4x+1y = 2x^2 — 4x + 1$

Для уравнения $y=2\times2-4x+1y = 2x^2 — 4x + 1$ нужно вычислить ось симметрии с помощью формулы:

$x=−b2a=−−42×2=44=1x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, ось симметрии для этой параболы — вертикальная прямая $x=1x = 1$ .

Пример 2: Парабола $y=-3(x-2)2+5y = -3(x — 2)^2 + 5$

Для уравнения $y=-3(x-2)2+5y = -3(x — 2)^2 + 5$ парабола записана в каноническом виде, где $h=2h = 2$ и $k=5k = 5$ . Следовательно, ось симметрии будет вертикальной прямой, проходящей через точку $x=2x = 2$ . Ось симметрии для этой параболы будет:

$x=2x = 2$

Пример 3: Парабола $x=4(y+1)2-3x = 4(y + 1)^2 — 3$

Для уравнения $x=4(y+1)2-3x = 4(y + 1)^2 — 3$ парабола открывается влево или вправо, и она записана в каноническом виде. Здесь $h=-3h = -3$ и $k=-1k = -1$ , следовательно, ось симметрии будет горизонтальной прямой, проходящей через $y=-1y = -1$ :

$y=-1y = -1$

Таким образом, ось симметрии параболы будет горизонтальной и проходящей через $y=-1y = -1$ .

Значение оси симметрии для анализа графиков

Знание оси симметрии параболы полезно для более детального анализа её графика. Она помогает понять, где находятся максимальная или минимальная точка параболы (в зависимости от направления её ветвей). Также ось симметрии упрощает нахождение других важных элементов графика, таких как пересечение с осями, а также определение диапазона значений для функции.

Кроме того, ось симметрии параболы может быть использована в задачах по геометрии, физике и других науках, где анализируются симметричные объекты.