Задача о броске монеты, когда процесс продолжается до тех пор, пока не выпадет орёл, является классическим примером вероятностной задачи, иллюстрирующей случайный процесс с использованием геометрического распределения. Решение этой задачи сводится к вычислению вероятности наступления события, которое предполагает несколько независимых бросков, каждый из которых имеет два возможных исхода.
Описание задачи
Предположим, что монета симметрична, то есть вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Броски продолжаются до тех пор, пока не выпадет орёл. Задача заключается в том, чтобы определить вероятности разных исходов для количества бросков, а также рассчитать ожидаемое количество бросков до выпадения орла.
Подход к решению задачи
Для начала можно рассмотреть, что на каждом броске монеты два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р). Вероятности этих исходов равны:
- P(О) = 1/2,
- P(Р) = 1/2.
Нам нужно определить вероятность того, что орёл выпадет на определённом броске, а также рассчитать математическое ожидание (среднее количество бросков).
Вероятность выпадения орла на k-м броске
Для того чтобы орёл выпал на k-м броске, необходимо, чтобы на предыдущих k-1 бросках выпадала решка, а на k-м броске — орёл.
Каждый бросок независим, поэтому вероятность того, что на первых k-1 бросках выпадет решка, а на k-м броске — орёл, можно записать как:
P(необходимый исход на k-м броске) = P(Р на первых k-1 бросках) * P(О на k-м броске).
Поскольку на каждом броске вероятность выпадения решки или орла составляет 1/2, получаем:
P(Р на первых k-1 бросках) = (1/2)^(k-1), P(О на k-м броске) = 1/2.
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет на k-м броске, равна:
P(k-й бросок орёл) = (1/2)^(k-1) * (1/2) = (1/2)^k.
Математическое ожидание
Математическое ожидание (или среднее количество бросков до того, как выпадет орёл) можно найти, используя формулу для ожидаемого значения для геометрического распределения. Для данного случая математическое ожидание вычисляется как сумма произведений вероятности на количество бросков, то есть:
E(X) = Σ k * P(k-й бросок орёл).
Подставим выражение для P(k-й бросок орёл):
E(X) = Σ k * (1/2)^k, где сумма берётся по всем возможным значениям k = 1, 2, 3, …
Эта сумма является известной в теории вероятностей и её значение равно:
E(X) = 2.
Это означает, что в среднем нужно сделать два броска, чтобы выпал хотя бы один орёл.
Итоговые выводы
Задача о броске монеты до выпадения орла решается через геометрическое распределение, и ключевыми результатами являются:
- Вероятность выпадения орла на k-м броске: P(k-й бросок орёл) = (1/2)^k.
- Ожидаемое количество бросков: математическое ожидание равно 2, то есть в среднем потребуется два броска, чтобы увидеть орла.
Таким образом, решение задачи требует использования простых принципов теории вероятностей и геометрического распределения, что позволяет легко рассчитать вероятность события и его ожидаемое количество.
